Gleichungen sind eine Art mathematisches Rätsel. Sie stellen eigentlich nichts anderes dar, als eine Waage, die auf der linken Seite und auf der rechten Seite mit verschiedenen Dingen beladen ist. Eines dieser Dinge ist eine „unbekannte Grösse“ (also die Variable, meist x). Die Waage ist schön im Gleichgewicht (beide Seiten sind gleich schwer).
Es geht nun darum herauszufinden, welche Zahlen für die Unbekannte (Variable) eingesetzt werden können, damit die Gleichung stimmt (also die Waage ausgeglichen ist). Du suchst also eine Zahl für x, welcher die rechte und die linke Seite der Gleichung gleichwertig macht, oder – anders ausgedrückt – du fragst dich, wie gross die Unbekannte x ist, damit die Waage so schön im Gleichgewicht steht.
Dazu musst du meistens „umbeigen“, also die Variablen-Terme auf eine Seite bringen und die Zahlterme auf die andere Seite. Bei all diesen Umstellungen ist es aber wichtig, dass du immer auf beiden Seiten der
Gleichung die gleiche Operation durchführst, da sonst die Waage aus dem Gleichgewicht gerät (oder eben die Terme nicht mehr gleichwertig sind).
Anders gesagt: Wenn du auf der linken Seite zusätzliche Wägestücke dazulegst, musst du das auch auf der rechten Seite tun, wenn du links etwas wegnimmst, musst du das rechts auch tun.
📗 Aufgabe 1: Einfache lineare Gleichung
Löse die Gleichung:
2x + 5 = 13
➡️ Lösung anzeigen
2x + 5 = 13
2x = 8
x = 4
✅ Ergebnis: \( x = 4 \)
📘 Aufgabe 2: Lineare Gleichung mit Klammern
Löse die Gleichung:
3(x – 2) = 2x + 4
➡️ Lösung anzeigen
3x – 6 = 2x + 4
3x – 2x = 4 + 6
x = 10
✅ Ergebnis: x = 10
📙 Aufgabe 3: Bruchgleichung
Löse die Gleichung:
\[
\frac{x}{3} + 2 = \frac{x + 6}{2}
\]
➡️ Lösung anzeigen
Beide Seiten multiplizieren mit 6 (kgV von 3 und 2):
\[
2x + 12 = 3(x + 6)
\]
\[
2x + 12 = 3x + 18
\]
\[
12 – 18 = 3x – 2x
\]
\[
x = -6
\]
✅ Ergebnis: \( x = -6 \)
📕 Aufgabe 4: Quadratische Gleichung
Löse die Gleichung:
\[
x^2 – 7x + 10 = 0
\]
➡️ Lösung anzeigen
Gesucht sind zwei Zahlen, deren Produkt 10 und deren Summe 7 ist: \(5\) und \(2\).
\[
(x – 5)(x – 2) = 0
\]
Das Produkt zweier Faktoren ist nur dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist:
\[
x – 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5
\]
\[
x – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]
✅ Ergebnis: \(x = 5,\; x = 2\)
Sie haben Mühe mit Variablen, Termen und mit Gleichungen?
Dieses Dossier von Andy Räz hilft Ihnen!