Mathematische Terme sind leider ganz häufig in Texten und Situationen versteckt. Diese zu entschlüsseln ist eine besonders wichtige Aufgabe und ermöglicht es, daraus folgende Gleichungen und Problemstellungen zu lösen. Sprachlich beschriebene Situationen können in „mathematische Sprache“ übersetzt und dann ganz mathematisch bearbeitet werden.
Verankerung mit Hilfe von Variablen
„Franz hat in der Prüfung 10 Punkte mehr als Hans erreicht, aber leider 2 Punkte weniger als Anna.“ In diesem Satz versteckt ist also ein Zusammenhang zwischen den Punktzahlen von Hans, Franz und Anna.
Dieser lässt sich mathematisch darstellen, indem man einer Variable eine Bedeutung zuordnet: Damit sind
alle damit zusammenhängenden Punkte verankert.
Version 1 (Hans als Verankerung)
Punkte von Hans: x
Punkte von Franz: x + 10 (Franz hat 10 Punkte mehr als Hans)
Punkte von Anna: x + 10 + 2 = x + 12 (Franz hat 2 Punkte weniger als Anna, also hat Anna 2 mehr als Franz)
Version 2 (Franz als Verankerung)
Punkte von Franz: x
Punkte von Hans: x – 10 (Franz hat 10 Punkte mehr als Hans, also hat Hans 10 weniger als Franz)
Punkte von Anna: x + 2 (Franz hat 2 Punkte weniger als Anna, also hat Anna 2 mehr als Franz)
Version 3 (Anna als Verankerung)
Punkte von Anna: x
Punkte von Franz: x – 2 (Franz hat 2 Punkte weniger als Anna)
Punkte von Hans: x – 2 – 10 = x – 12 (Franz hat 10 Punkte mehr als Hans, also hat Hans 10 weniger als Franz)
Bei Satzgleichungen ist es enorm wichtig, die Verankerung mit Variablen gut überlegt zu wählen und die Bedeutung der Variablen immer aufzuschreiben.
📘 Aufgabe 1: Altersproblem
Tom ist 5 Jahre älter als Lisa. Tom war vor 7 Jahren doppelt so alt.
Wie alt sind Tom und Lisa heute?
➡️ Lösung anzeigen
1️⃣ Variablen festlegen:
x = Lisas Alter heute → Tom ist ( x + 5 ).
2️⃣ Bedingung in 7 Jahren:
Lisa ( x – 7) , Tom → ( x + 5 )
2(x – 7)= x + 5
3️⃣ Gleichung lösen:
2(x – 7)= x + 5 – 7
2x – 14= x – 2
x = 12
✅ Ergebnis: Lisa ist 12 Jahre alt, Tom ist 17 Jahre alt.
🚗 Aufgabe 2: Geschwindigkeitsproblem
Ein Zug fährt mit 90 km/h, ein Auto mit 120 km/h.
Das Auto startet 30 Minuten (0,5 h) später.
Wann holt das Auto den Zug ein?
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Sei t = Zeit (in Stunden), die der Zug fährt, bis das Auto ihn einholt.
Zug: Strecke = Geschwindigkeit x Zeit = 90t
Auto: Strecke = Geschwindigkeit x Zeit = 120(t – 0,5)
Dort, wo das Auto den Zug einholt sind die Strecken gleich und es gilt:
90t = 120(t – 0.5)
90t = 120t – 60
30t = 60
t = 2
✅ Ergebnis: Nach 2 Stunden (also 1,5 Stunden Fahrzeit des Autos) hat das Auto den Zug eingeholt.
🧱 Aufgabe 3: Arbeitsproblem
Peter kann eine Mauer in 8 Stunden bauen, Maria schafft dieselbe Arbeit in 12 Stunden.
Wie lange brauchen sie gemeinsam?
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Arbeitsrate:
Peter: 1 Mauer/ 8 Stunden
Maria: 1 Mauer/ 12 Stunden
Gemeinsam:
\[ 2.5 Mauern/ 12 Stunden]
\[12 geteilt durch 2.5 = 4,8 = 4 Stunden und 8x 6min
\]
✅ Ergebnis: Gemeinsam benötigen sie 4 Stunden 48 Minuten.
💰 Aufgabe 4: Preisaufgabe
Eine Kiste Äpfel kostet 12 CHF. Wenn der Preis um 25 % steigt, wie viel kostet die Kiste dann?
Und wie viel würde sie bei 20 % Rabatt kosten?
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Preiserhöhung:
\[
12 x 1,25 = 15
\]
→ Neuer Preis: 15 CHF
Rabatt:
\[
12 x 0,8 = 9,60
\]
→ Neuer Preis: 9,60 CHF
✅ Ergebnis:
Nach +25 % = 15 CHF,
nach −20 % = 9,60 CHF.
📊 Aufgabe 5: Gewinnberechnung
Ein Händler kauft ein Fahrrad für 400 € und verkauft es für 520 €.
Wie viel Prozent Gewinn erzielt er?
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1️⃣ Gewinn berechnen:
\[
520 – 400 = 120
\]
2️⃣ Gewinn in %:
\[
\frac{120}{400} \times 100 = 30\%
\]
✅ Ergebnis: Der Gewinn beträgt 30 %.