MAT 4. Quintal

Chinesischer Restsatz

Die Zahl x ergibt bei ganzzahliger Division durch 7 den Rest 2 und bei ganzzahliger Division durch 10 den Rest 8. Welche Zahl ist x?

Die Zahl x lässt sich also darstellen als

x   =   s·7 + 2   =   t·10 + 8

oder allgemein

x   =   s·m + a   =   t·n + b

Anders ausgedrückt gilt

x kongruent a  (mod m)   und

x kongruent b  (mod n).

Die Zahlen m und n werden in diesem Zusammenhang als Moduln bezeichnet, die Zahlen a und b als die zugehörigen Reste.

Der sogenannte chinesische Restsatz sagt aus, dass wenn die Moduln m und n teilerfremd sind, es modulo m·n eine eindeutige Lösung x gibt.

Finden Sie die Lösung?

Kubische Gleichungen

Sinus, Kosinus und Tangens 

rechtwinkliges Dreieck - Hypotenuse, Gegenkathete, Ankathete

Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens sind die wichtigsten trigonometrischen Funktionen.

Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben das Verhältnis von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck in Abhängigkeit von einem der spitzen Winkel. Sie sind folgendermaßen definiert.

  • sin⁡(α)=GegenkatheteHypotenusesin(α)=HypotenuseGegenkathete​
  • cos⁡(α)=AnkatheteHypotenusecos(α)=HypotenuseAnkathete​
  • tan⁡(α)=GegenkatheteAnkathetetan(α)=AnkatheteGegenkathete​Dabei bezeichnet man als „Ankathete“ die Kathete, die zusammen mit der Hypotenuse den Winkel αα einschließt. Die „Gegenkathete“ ist die Kathete die dem Winkel gegenüberliegt (siehe Bild).
Bild

Die „Ankathete“ wird hier im Bild mit einem bb, die „Gegenkathete“ mit einem aa und die Hypothenuse mit einem cc bezeichnet. 

Beachte: Die Seite aa liegt gegenüber dem Winkel αα, ββ gegenüber bb und cc gegenüber γγ. Wobei γγ in diesem Beispiel der rechte Winkel ist.

Folgende Winkelbeziehungen ergeben sich daraus:

  • sin⁡(α)=acsin(α)=ca
  • cos⁡(α)=bccos(α)=cb
  • tan⁡(α)=abtan(α)=ba

Löse einige Aufgaben mit Hilfe der Winkelfunktionen Sinus und Cosinus auf deinem Taschenrechner.

https://de.serlo.org/mathe/30680/aufgaben-zum-sinus-kosinus-und-tangens-im-rechtwinkligen-dreieck

Dazu ein interessanter Berufsfilm zur vierjährigen Lehre.

https://www.srf.ch/play/tv/berufsbilder-aus-der-schweiz/video/geomatiker-efz?urn=urn:srf:video:5d8ba3f2-3f7c-47c7-9185-d67906fa3d1d

Der Kosinussatz Beweis

Damit man die trigonometrischen Funktionen in einem nichtrechtwinkligen Dreieck anwenden kann, benutzt man eine Hilfskonstruktion: Man konstruiert die Höhe vom Punkt C auf die Seite c:

Dadurch wird die Seite c in die zwei Abschnitte p und q zerteilt, und es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke, die die Seite h gemeinsam haben. (Das folgende gilt aufgrund dieser Konstruktion vorerst auch nur für diesen Fall, daß nämlich die Höhe innerhalb des Dreiecks liegt.)

Zur Erinnerung: Das Ziel ist, eine Formel zu finden, mit der a berechnet werden kann, wenn b, c und α gegeben sind.

α und b liegen im linken Dreieck, a liegt im rechten, c ist die Summe jeweils einer Kathete beider Dreiecke.

Die Idee ist nun, die beiden Dreiecke durch ihre gemeinsame Größe h rechnerisch zu „verbinden“, um mit den gegebenen Größen zur Größe a zu gelangen.

Im rechten Dreieck gilt (Pythagoras):   h2 = a2 – q2

Im linken Dreieck bringt man den gegebenen Winkel α ins Spiel und berechnet:   h = b · sin(α)

Da uns h letztlich nicht interessiert, kann die zweite Gleichung dazu verwendet werden, h2 in der ersten Gleichung zu ersetzen. Nach der zweiten Gleichung gilt nämlich:  h2 = ( b · sin(α) )2 = b2 · (sin(α))2

So kann man die beiden Gleichungen gleichsetzen, wobei h2 letztlich verschwinden kann:

 b2 · (sin(α))2 = h2 = a2 – q2

 b2 · (sin(α))2 = a2 – q2

In dieser Gleichung sind α und b bekannt, a soll berechnet werden, nur das q stört noch! Um das q rauszuschmeißen, überlegt man sich, daß p + q = c gilt. Also ist q = c – p

Außerdem gilt: p = b · cos(α).

Somit gilt: q = c – b · cos(α).

Hier ist q nur mit bekannten Größen umschrieben worden! Uff! soweit gut, aber jetzt kommt noch der

Endspurt!

Nun muß nur noch dieser Term ( c – b · cos(α) ) für q in die Gleichung  b2 · (sin(α))2 = a2 – q2 eingesetzt werden, und schon haben wir eine Gleichung, in der nur noch a unbekannt ist!

 b2 · (sin(α))2 = a2 – ( c – b·cos(α) )2

Zuerst wird die Klammer mit dem Quadrat rechts aufgelöst (2. binomische Formel):

 b2 · (sin(α))2 = a2 – ( c2 – 2·b·c·cos(α) + b2·(cos(α))2 )

Dann wird die Minusklammer aufgelöst:

 b2 · (sin(α))2 = a2 – c2 + 2·b·c·cos(α) – b2·(cos(α))2

Nun wird die Gleichung nach a2 umgeformt:

a2 = c2 – 2·b·c·cos(α) + b2·(cos(α))2 + b2 · (sin(α))2

Das b2 wird ausgeklammert:

a2 = c2 – 2·b·c·cos(α) + b2· [ (cos(α))2 + sin(α))2 ]

Nach obiger Regel gilt: (cos(α))2 + (sin(α))2 = 1
und somit ist:

a2 = c2 – 2·b·c·cos(α) + b2

Man zieht das b2 nach vorne und erhält damit den

Kosinussatz
   a² = b² + c² – 2 b c cos(α)   
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